ley de los engranes

 

Ley fundamental del engranaje

 

Los engranajes deben diseñarse para que la relación de velocidades (velocidad angular de una rueda dividido por la velocidad angular de la otra) sea constante en todo momento ya que de lo contrario aparecerían unas vibraciones enormes que acortarían drásticamente la vida útil de la transmisión. Para que se cumpla esta condición, el perfil de los dientes no puede ser cualquiera, sino que debe ser cuidadosamente diseñado.

Cuando dos dientes están en contacto, el sistema es como se muestra en la figura siguiente. En ella, el eslabón 1 es la barra fija, el 2 es un diente y el 3 es el otro diente. El diente 2 posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O2, por lo que O2 es el centro instantáneo de rotación relativo, CIR 1-2. De la misma forma, el diente 3 posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O3, por lo que O3 es el CIR 1-3. Según el Teorema de Kennedy (o de los tres centros) los CIR 1-2, 2-3 y 1-3 deben estar alineados; así, el CIR 2-3 está en la recta que pasa por los centros O2 y O3 (línea a trazos en la figura). Además, cuando dos sólidos planos están en contacto, no importa el tipo de movimiento relativo, el CIR relativo entre ambos está siempre en la recta normal a los perfiles de ambos sólidos en el punto de contacto (C). Así se sabe que el CIR 2-3 está en la normal a ambos dientes en el punto C y, por tanto, que este CIR está en P. A este punto P se le denomina punto de paso.

 

Por definición, al ser P el CIR 2-3, este punto posee la misma velocidad lineal si se considera perteneciente a 2 que si se considera perteneciente a 3. Como tanto 2 como 3 son sólidos en rotación pura, se puede escribir que la velocidad de P, en módulo, es:

 

con lo que la relación de transmisión es:

 

es decir, la relación de transmisión depende de la relación de distancias desde P a cada una de las articulaciones de 2 y de 3. En conclusión, para que dicha relación de velocidades (i) no varíe a medida que el contacto progresa, debe cumplirse que el punto de paso P (intersección de la normal en el punto de contacto y la recta de centros) no varíe de posición. A esta condición se le conoce como ley fundamental del engrane.

En el caso del ejemplo que nos ocupa, en la siguiente figura se muestran los dientes en contacto en dos posiciones sucesivas. En la posición 1 el contacto entre los dientes está en C1 y la normal que pasa por C1 corta a la recta de centros en P1 (punto de paso en la posición 1). En la posición 2 el contacto entre los dientes está en C2 y la normal que pasa por C2 corta a la recta de centros en P2. Se demuestra, así, que el punto de paso no permanece detenido para todas las posiciones sucesivas del contacto, por lo que la relación de velocidades no será constante. En el instante 1 la relación de velocidades tendrá un valor y en el instante 2 dicha relación tendrá otro valor diferente.

 

Cuando dos perfiles de dientes son tales que cumplen la ley fundamental del engrane, se dice que son perfiles conjugados. Y puede demostrarse que dado un perfil cualquiera de un diente, siempre puede obtenerse el perfil de otro diente tal que ambos sean perfiles conjugados (es decir, el conjugado de un perfil siempre existe, cualquiera que sea).